Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z

I. Kiến thức cơ bản:
1/ Định lý phép chia có dư:
Với
với

Khi
ta nói
.
Tóm lại :
.
2/ Tính chất:
i)
ii)
iii)
iv)


II. Một số phương pháp chứng minh chia hết:
1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : “Trong
số nguyên liên tiếp
có một và chỉ một số chia hết cho
”.
Chứng minh:
Lấy
số nguyên liên tiếp :
chia cho
ta có
số dư là
,
,…
-1 đôi một khác nhau, chắc chắn có một số chia cho
sẽ có số dư là 0
đpcm.
*Ví dụ 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho
.
b/ CMR: Tích
số nguyên liên tiếp thì chia hết cho
.
Giải:
a/ Giả sử hai số chẵn liên tiếp là
và
.
Ta có :
(vì
).
b/ Giả sứ tích
cố nguyên liên tiếp là
. Ta có:

(vì
có tích của ba số nguyên liên tiếp).

(vì
có tích của hai số chẵn liên tiếp).

(vì
có tích của 5 số nguyên liên tiếp).
Mà

Hay
.
*Ví dụ 2: CM trong
số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho
.
Giải:
Giả sử
số tự nhiên liên tiếp là :

Xét
số tự nhiên từ :
thuôc dãy số

Suy ra có một số chia hết cho
.
Giả sử số đó là
và giả sử
có tổng các chữ số là
.
Khi đó ta xét
số tự nhiên gồm:


Sẽ có tổng các chữ số gồm
số tự nhiên liên tiếp là:


đpcm. (Trong dãy
có một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho
).
2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh
ta phân tích
sao cho
.
Sử dụng hằng đẳng thức :
+
chẵn:



+
tuỳ ý:

*Ví dụ 3: CMR: với
chẵn thì

Giải:
Ta thấy:

Ta có:







Tương tự :





Mà


*Ví dụ 4: CMR:

Giải: Ta có:









3/ Phương pháp 3: Dùng định lý phép chia có dư: Để chứng minh

Xét các trường hợp khi chia
cho
.
Ta có
với

Từ đây, xét các trường hợp

*Ví dụ 5: CMR:

Giải:
Đặt

Lấy
chia cho
ta được

+ Với

+ Với

+ Với

Vậy

*Ví dụ 6: Chứng minh rằng :

Giải:
Đặt

Lấy
chia cho 3 ta được:

+ Với

+ Với

Vậy

4/ Phương pháp 4: Nguyên tắc Drichlet:
“ Có
con thỏ nhốt vào
chuồng thì có ít nhất một chuồng có hai con thỏ trở lên (nhiều hơn một con thỏ).

Trong toán học: “Có
số nguyên đem chia cho
thì có ít nhất hai số nguyên có cùng số dư”.
*Ví dụ 7: CMR trong
số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) bao giờ cũng chọn được hai số mà khi viết liền nhau ta được một số có sáu chữa số chia hết cho
.
Giải:
Ta có: Trong
số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) khi chia cho
, ta được ít nhất hai số có cùng số dư
.
Giả sử:

Ta có:


đpcm.