CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
CỦA HÀM NHIỀU BIẾN



1/ Đạo hàm riêng:

;

*Định lý đạo hàm của hàm số hợp: D là một tập hợp trong
. Xét hai ánh xạ
,
. Đặt
. Nếu
có các đạo hàm riêng
liên tục trong
và nếu
có các đạo hàm riêng
,
,
trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng
và ta có:

. Trong đó
là ma trận Jacubi của
đối với
.
2/ Tích phân kép, tích phân bội ba:
a/ Tích phân kép:

Với
.
+ Tích phân kép trong toạ độ đề các:

với

+ Đổi biến số trong tích phân kép: Với


.
Trong đó
là định thức Jacobi, D’ là ảnh của D qua phép biến đổi trên.
+ Tích phân kép trong toạ độ cực:

+ Thể tích của vật thể hình trụ :

+ Diện tích của miền D trong mặt phẳng Oxy là:

+ Diện tích của mặt cong
giới hạn bởi một đường cong kín là:

.
+ Nếu bản phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng
thì:
- Khối lượng của bản D là:

- Momen quán tính của bản D đối với Ox, đối với Oy và đối với gốc toạ độ là:

;



- Toạ độ của trong tâm G của bản D là:

;

b/ Tích phân bội ba:

+ Tích phân bội ba trong toạ độ đề các:
Nếu miền V được xác định bởi
thì:

+ Đổi biến số trong tích phân bội ba: Đặt
,
thì:


Trong đó
là định thức Jacobi,
V’ là ảnh của V qua phép biến đổi trên.
+ Tích phân bội ba trong toạ độ trụ:


+ Tích phân bội ba trong toạ độ cầu:


+ Thể tích V của vật thể V là:

+ Nếu vật thể có khối lượng riêng tại điểm
là
thì:
- Khối lượng của vật thể V là:

- Toạ độ của trọng tâm G của vật thể V là:

;


.