1. Học Toán để làm gì ?

            Nhiều người nghỉ rằng học Toán là có kiến thức Toán học mà dùng trong đời sống hằng ngày và để học các môn khác, nhất là để học các môn khoa học tự nhiên và kĩ thuật. Nghĩ như vậy không sai nhưng chưa đủ. Thời đại ngày nay, trong giáo dục đào tạo, người ta yêu cầu cao về việc rèn luyện óc thông minh sáng tạo, tính năng động thích nghi với những thay đổi nhanh đến chóng mặt, nên Toán học, vốn đã được coi là “thể dục của trí não”, là “nữ hoàng của các khoa học”, càng phải phát huy vai trò đó; Toán học phải rèn luyện óc thông minh sáng tạo để phục vụ những lĩnh vực cần đến các khái niệm, các công thức, định lý toán học mà còn rèn óc thông minh sáng tạo để phục vụ cho tất cả các lĩnh vực “phi toán”, tức là những lĩnh vực không dùng đến bất cứ khái niệm, định lý, công thức Toán học nào cả. Các môn học khác cũng có vai trò rèn óc thông minh sáng tạo, nhưng tác dụng không lan toả và sắc cạnh như tác dụng của môn Toán vì môn Toán đã loại bỏ hết mọi khía cạnh vật chất trong thế giới khách quan, chỉ giữ lại để nghiên cứu các quan hệ số lượng và các quan hệ logic (hình thức hoặc biện chứng). Vì Toán học có thể trùm lên các khoa học nghiên cứu về các dạng vận động khác nhau nên Toán học rất gần gủi với logic và triết học.

            Nhiều người chỉ thấy có kiến thức Toán học mà ít quan tâm đến tư duy và nhân cách người làm Toán.

            Một lần, Vụ Phổ thông (Bộ Giáo dục cũ) chỉ đạo “bỏ chứng minh phần đảo”, “bỏ biện luận” trong dạy Toán vì học sinh kêu khó; thật là sai lầm vì “chứng minh phần đảo” nhằm mục đích rèn cho tư duy kín kẽ, “nghĩ đi rồi phải nghỉ lại”, không suy nghĩ một chiều, còn biện luận là nhằm làm cho “chủ quan phải phù hợp với khác quan”… Sau này khi học sinh vào đời, trừ những người làm nghề dạy Toán hay nghiên cứu Toán học, có mấy ai đụng đến định lý đảo hay biện luận theo tham số nhưng ở tất cả mọi người, dù làm nghề gì, cũng không được suy nghĩ một chiều, không được chủ quan, không được phiến diện. Dạy chứng minh phần đảo hay dạy biện luận là để giáo dục những phẩn chất đó cho học sinh…

            Nói tóm lại, học Toán không chỉ nhằm để có kiến thức Toán học mà càn để phát triển tư duy sáng tạo và nhân cách. Hai mặt này tác động lẫn nhau: Tư duy càng sắc bén, nhân cách càng tốt đẹp thì năm kiến thức càng sâu; nắm kiến thức càng sâu càng mài sắc tư duy và gia cố nhân cách.

2. Học Toán là học kiến thức Toán học và văn hoá Toán học:

            Ngày nay, ai cũng phải học suốt đời và đều bắt đầu bằng quảng đới học sinh. Trong quảng đời này, quá trình học được chia ra làm nhiều công đoạn dài ngắn khác nhau: tiết học, tuần học, tháng học, học kì, năm học, khoá học. Có thể ví một công đoạn học với một chu trình sản suất: đầu vào gồm kiến thức đã có, đầu ra vẫn gồm những kiến thức đó được củng cố vững chắc hơn và thêm các kiến thức mới học được; tư duy là công nghệ để nối các kiến thức mới và cũ với nhau thành một chỉnh thể logic và sự nổ lục phấn đấu học là năng lượng. Sự so sánh này khập khiễng vì trong sản xuất, khi kết thúc một chu trình thì chu trình mới sẽ lập lại y nguyên chu trình cũ khi giữa hai chu trình không có đổi mới công nghệ; còn học tập, công đoạn kế sau khác công đoạn kế trước vì đầu vào của công đoạn sau là đầu ra của công đoạn trước: kiến thức đầu vào không bị tiêu hao mà chắc thêm và giàu thêm những kiến thức mới; không những thế, trình độ tư duy, trình độ nhân cách ngườ học cũng đã trường thành lên so với khi bắt đầu vào công đoạn trước. Sự giáu về kiến thức thì thấy rõ, nhiều khi chỉ qua một tiết học thì đã có thêm kiến thức mới, còn trưởng thành về tư duy và nhân cách thì thường phải qua một công đoạn dài (năm học, khoá học) mới thấy rõ. Sự tích luỹ ở đây có thể ví với sự tích luỹ của tửng hạt cát đễ thành bãi phù sa. Mỗi tiết học cũng cho người học thêm một hạt cát về tư duy và nhân cách nhưng khó thấy, khó đo. Vì vậy mà khi nói đến học, người đời thường nói đến học kiến thức, rất ít người nói đến học “tư duy” và rèn “nhân cách”, vô hình chung bỏ đi cái rất quan trọng mà ta đã ví với công nghệ và năng lượng trong sản xuất. Ngay các giáo viên thường cũng chỉ lo sao dạy cho hế chương trình (hoàn thành nhiệm vụ về cung cấp kiến thức), còn tư duy và nhân cách học sinh được năng lên đến đâu qua môn mình dạy thì được chăng hay chớ. Sự coi nhẹ này còn tai hại ở chỗ nó lẵng phí rất nhiều sự tác động qua lại giữa việc học các bộ môn khác nhau. Sự tác động qua lại này biểu hiện ở ba mức :

            - Mức kiến thức: Kiến thức môn này hỗ trợ cho việc học môn khác, ví dụ như kiến thức Toán cần cho học Lý, kiến thức Địa lý cần cho Lịch sử.

            - Mức tư duy: Kiểu tư duy ở môn này có thể vận dụng sang môn khác, ví dụ tư duy logic trong Toán học cũng phục vụ cho việc bố cục một bài văn, cho việc xây dựng một cách nhất quán tính cách một nhân vật tiểu thuyết.

            - Mức nhân cách: Những phẩm chất của người học hình thành nên ở môn học này cũng phục vụ tốt cho việc học các môn khác ví như, trong học Toán “ý thức đòi hỏi chính xác” được rèn dũa và điều đó cũng có ích cho việc học vắn phạm của bất cứ thứ tiếng nào.

            … Phạm vi ứng dụng của kiến thức Toán học, tuy đã mở rộng, nhưng vẫn còn hạn chế, còn phạm vi ứng dụng của vắn hoá Toán học thì rộng hơn nhiều, lan đến cả nhiều lĩnh vực phi Toán, ví như phương châm “dĩ bất biến ứng vạn biến” mà trong Toán học ta gặp hàng ngày, thì ta có thể ứng dụng khắp nơi trong cuộc sống.

3. Dễ và khó trong Toán học:

             Ở đời, ai mà chẳng có lúc phải nói: “Khó quá!”, “Hơi khó đấy!” hoặc “Dễ thôi!”, “Dễ ợt”,… khi phải giải quyết một việc gì đó. Chuyện “đời thường” thôi, nhưng sự đánh giá mức độ “khó, dễ” lại ảnh hưởng đến tính thần, thái độ, hướng suy nghĩ của người phải giả quyết công việc. Mà đánh giá đâu có đơn giản: “khó” hay “dễ” thường phản ánh một cái gì chủ quan cùa người giải quyết công việc. “Khách quan” gắn với tính chất “tuyệt đối” nghĩa là độc lập với người giải quyết công việc, còn “chủ quan” lại gắn với tính chất “tương đối” nghĩa là phụ thuộc vào người giải quyết công việc. Sự đánh giá đúng hay sai nhiều khi còn ảnh hưởng đến chiều hướng hành động của cả một công đồng, trong suốt một thời gian dài.

            … Học sinh thường hay đánh giá: “Thầy này dạy khó hiểu, thầy kia dạy dễ hiểu”. “Sách này viết dễ hiểu, sách kia viết khó hiểu”. “Chương này dễ quá, chương kia khó quá”. “Bài Toán này khó quá”. “Bài Toán kia dễ ợt”,… Đó cũng là chuyên “đời thường” của học sinh. Nhưng, với một sự nhay cảm sư phạm, người ta sẽ thấy ngay mặt “thụ động” trong quan niệm trên đây về “dễ” và “khó”: Khó và dễ trong việc tiếp thu kiến thức do thấy hay sách truyền đạt; khó và dễ trong việc làm bài do thầy đề ra. Điều đó có nguồn gốc sâu xa từ một kiểu dạy còn rất phổ biến ở nước ta mà ngày nay gọi là sư phạm độc thoại, áp đặt quyền quy. Đặc trưng của kiểu dạy này là : hầu như chỉ một mình thầy nói trên bụt giảng (độc thoại) còn học trò thì nghe thụ động, thỉnh thoảng mới có một mẫu đối thoại giữa thấy và trò về một điểm nào đó trong nội dụng bài giảng. Thì nói thì trò phải nghe (áp đặt), không có tranh luận giữa thấy và trò; chỉ có thầy ra bài cho trò làm (tức là thầy nêu vấn đề cho trò giải quyết). Rất hiếm trường hợp trò tự phát hiện ra vấn đề rồi tự đặt chomihn2 trách nhiệm giải quyết. Trò nói sai, làm sai với ý thầy, thì rất sợ bị điểm kém, bị phạt,… Cach1 dạy, cách học đó đã ăn sâu đến mức không chỉ có học sinh, mà cả một bộ phận thầy giáo cũng hình dung “khó, dễ” trong sự tiếp thu thụ động của người học. Do đó, các thầy giáo nhiều khi cũng có các thái độ khác nhau trước những ý đồ cải tiến việc dạy và học: có thầy giáo muốn cho học sinh của mình thấy rằng toán học tồn tại khắp nới chứ không phải chỉ có trong sách vở, trên bảng đen, trong lớp học. Do đó, không chỉ phải học Toán vào lúc ngồi tại bàn, với quyễn vở và cây bút , lúc đúng cạnh bảng đen với viên phấn, mà có thể học Toán ở mọi nơi, mọi lúc, kễ cả lúc vụi chơi, khi đi đường,… Vì ở đâu mà chẳn có các quan hệ logic, các quan hệ về số lượng và hình dạng,… Để hướng dẫn học sinh đi vào còn đường đó, các thầy đã kễ cho học siunh nghe những mẫu chuyện về “Toán học” và học “Văn hoá Toán” ở mọi lúc, mọi nơi của bản thân mình thời còn là học sinh. Đó là nhựng câu chuyện vừa vui, vừa dí dỏm, gắn liền với cuộc sống đời thường. Thầy chọn những vấn đề “Toán học” mà từ việc phát hiện cho đến cách tìm hướng giải quyết và cuối cùng là việc giải quyết điều không có gì phức tạp lắm, vừa sức học sinh. Thế nhưng, cũng có những người không đồng tình và chê những bài Toán đó là dễ quá. Những người này hình như chỉ xem có phần cuối là phần “giải quyết vấn đề” để đánh giá “khó, dễ” mà không thấy toàn bộ quá trình từ lúc “phát hiện vấn đề” đến lúc “loay hoay tìm hướng giải quyết vấn đề” và cuối cùng mới “giải quyết vấn đề”. “Phát hiện vấn đề” là mở ra được một con đường. Nó rất quan trọng và việc rèn luyện được phẩm chất “nhạy bén phát hiện vấn đề” là điều cực kì khó trong khoa học sư phạm. Cái khó ở đây khác với cái khó trong việc giải những bài Toán lắc léo… Cái gì là khó, cái gì là dễ? Giải được những bài toán khó trong sách cũng là việc khó nhưng dù sao cũng là việc quen thuộc của một học sinh giỏi Toán. Phát hiện ra những bài Toán trong đời thường lại là việc ít quen thuộc hơn và khó hơn nhiều. Đây là một vấn đề lớn của giáo dục hiện nay. Hướng giải quyết là phải chuyển từ sư phạm độc thoại, áp đặt, quyền uy sang sư phạm đối thoại, dân chủ. Thầy phải biết hướng dẫn cho trò biết quan sát, chú ý, tò mò, phát hiện ra mâu thuẩn bằng những mẫu đối thoại lý thú, gợi mở, dân chủ với học trò, trân trọng những bước tiến dù nhỏ, dù còn ngây ngô của học trò trên con đường đó. Giữa học trò với nhau cũng nên có những sinh hoạt tập thể từ hai người trở lên để trao đổi với nhau những điều như vậy. Ví dụ việc phát hiện ra rằng nhiều người đi về nhiều phía khác nhau đều thấy Mặt Trời, Mặt Trăng đi theo mình, là phát hiện ra một mâu thuẩn tuy rất ngây ngô, trẻ con, nhưng rất đáng trân trọng. Đó là xu thế của thời đại ngày nay trong việc dạy và học. Điều này đòi hỏi một cách nhìn mới về “khó” và “dễ” trong dạy và học…

Theo “Nên học Toán thế nào cho tốt ?”

Nguyễn Cảnh Toàn