Chào mừng quý vị đến với Website của Nguyễn Minh Nhiên.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.
Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.
Gốc > Các bài viết chuyên đề > chuyên đề toán Olimpic >

Về một bất đẳng thức thú vị

Toán học là một lĩnh vực thật lôi cuốn và hấp dẫn, việc giải toán cũng như vậy. Một trong những điểm lý thú khiến nhiều người say mê giải toán, đó là sự liên hệ chặt chẽ của các bài toán với nhau.Nhiều bài toán trong thật xa lạ và rời rạc, tưởng chừng như chúng chẳng có mối liên hệ nào, nhưng thực chất chúng lại liên hệ với nhau khá chặt chẽ. Và có những bài toán đơn giản (cả về chứng minh lẫn hình thức) với kết quả tổng quát, nhưng lại có thể giúp ta giải được những bài toán khác khó hơn nó rất nhiều. Đó chính là điểm thú vị của toán học. Trong bài này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một bài toán như vậy, một bất đẳng thức thật đẹp. Nó được phát biểu như sau:

 

Bài Toán:Cho là ba số thực tùy ý thỏa mãn tích của chúng bằng Thế thì$$\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1} \ge 1. \; (*)$$ 

Hay một dạng khác tương đương của nó làCho là ba số thực tùy ý thỏa mãn tích của chúng bằng Thế thì**)  

Kết quả này đã được tác giả bài báo cùng Vasile Cirtoaje độc lập tìm ra rất lâu, từ lúc tác giả bắt đầu tham gia vào giải toán bất đẳng thức. Nó được tác giả tìm ra một cách tình cờ trong một lúc giải toán. Lúc buổi đầu được tìm ra, nó cũng chẳng có ứng dụng gì nhiều và tác giả cũng không thật sự dành cho nó nhiều quan tâm. Mãi tận 3 năm sau đó, tác giả mới bắt gặp rằng bất đẳng thức này thật sự có một ứng dụng không nhỏ. Đặc biệt là với một lớp các bài toán ba biến có điều kiện liên quan đến tích số của chúng. Bạn sẽ bắt gặp rằng, thậm chí có nhiều bài thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế cũng có thể được giải bằng cách sử dụng bất đẳng thức thú vị này.  Chúng ta sẽ cùng làm rõ tại sao lại như vậy. Nhưng trước hết, ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức trên.  

Đặt Thế thì ta có dẫn tới$$\displaystyle{a=\dfrac{yz}{x^2},\quad b=\dfrac{zx}{y^2},\quad c=\dfrac{xy}{z^2}.}$$

Thay vào bất đẳng thức , ta viết được nó dưới dạng$$\displaystyle{\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}+\frac{y^4}{y^4+y^2zx+z^2x^2}+\frac{z^4}{z^4+z^2xy+x^2y^2} \ge 1.}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được$$\displaystyle{\sum \frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2} \ge \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\dsum (x^4+x^2yz+y^2z^2)}.}$$

Vậy ta phải chứng minh$$\displaystyle{(x^2+y^2+z^2)^2 \ge (x^4+y^4+z^4)+(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)+(x^2yz+y^2zx+z^2xy).}Bất đẳng thức này có thể được thu gọn lại thành" align="absmiddle"/>\displaystyle{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \ge xyz(x+y+z).}$$

Đây là một kết quả quen thuộc.  Bây giờ, trong bất đẳng thức , ta thay lần lượt bởi và thu được$$\displaystyle{\frac{a^2}{a^2+a+1}+\frac{b^2}{b^2+b+1}+\frac{c^2}{c^2+c+1} \ge 1.}Đến đây, với để ý rằng" align="absmiddle"/>\displaystyle{\frac{a^2}{a^2+a+1}=1-\frac{a+1}{a^2+a+1},}ta có được đánh giá sau" align="absmiddle"/>\displaystyle{\frac{a+1}{a^2+a+1}+\frac{b+1}{b^2+b+1}+\frac{c+1}{c^2+c+1} \le 2,}và đây chính là bất đẳng thức " align="absmiddle"/>(**)$$ của ta.  

Sau đây là một số ứng dụng của kết quả đẹp trên. \bx

Xét ba số thực tùy ý sao cho tích của chúng bằng Chứng minh rằng khi đó ta luôn có$$\displaystyle{\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \le 3.}$$\ex 

Chứng minhKhi bắt gặp bài toán này, tác giả đã để ý đến sự xuất hiện của biểu thức đặc biệt Nó có dạng giống với Thiết nghĩ hai biểu thức này có một sự liên hệ nào đó với nhau.

Thật vậy, ta hãy để ý rằng

Điểm đáng chú ý ở đây chính là ở biểu thức Nó có dạng giống hoàn toàn và chỉ khác về bậc của lũy thừa. Hơn nữa các số cũng có tích bằng Ta hãy thử khai thác bài toán từ điểm này.  Dạng của kết quả trên rất khó giúp ta giải quyết được bài này. Lí do là vì ta không thể phân tách ra đại lượng từ

Ta sẽ thử đi từ dạng xem sao. Thật may mắn, bởi vì chúng ta có thể phân tích được$$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{2(a^2+1)}{a^4+a^2+1}&=\frac{(a^2+a+1)+(a^2-a+1)}{(a^2+a+1)(a^2-a+1)}=\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{a^2-a+1} .\end{aligned}}$$

Như vậy, bằng cách sử dụng dạng 2, ta có$$\displaystyle{\frac{a^2+1}{a^4+a^2+1}+\frac{b^2+1}{b^4+b^2+1}+\frac{c^2+1}{c^4+c^2+1} \le 2.}$$

Đến đây, bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng thức này cho và sử dụng phân tích trên, chúng ta suy raMặt khác, ta biết rằng$$\displaystyle{\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1} \ge 1.}$$

Do vậy, kết hợp với bất đẳng thức trên, ta có$$\displaystyle{1+\sum\frac{1}{a^2-a+1} \le \sum \frac{1}{a^2+a+1}+\sum\frac{1}{a^2-a+1} \le 4,}suy ra" align="absmiddle"/>\displaystyle{\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1} \le 3,}$$và đó chính là điều phải chứng minh. 

math.vn


Nguyễn Minh Nhiên @ 22:09 07/12/2009
Số lượt xem: 472
Số lượt thích: 0 người
 
Gửi ý kiến
print